Posts tagged ‘circular curve’

Intégrales elliptiques et moyenne arithmético-géométrique

Le calcul de la moyenne arithmético-géométrique est un algorithme simple et très puissant découvert par Gauss permettant de calculer les intégrales elliptiques. L’excellent article de David Cox [1] dans L’enseignement mathématique expose l’historique des découvertes et recherches de Gauss sur le sujet.

La moyenne arithmético-géométrique a été définie par Lagrange, et est calculée de la manière suivante : si a et b sont deux réels positifs, on définit leur moyenne géométrique G = \sqrt{ab} et leur moyenne arithmétique A = \frac{a+b}{2}. Il est bien connu que G \leq A, et on a

A-G = \frac 1 2 (\sqrt b - \sqrt a)^2

Cette relation permet de montrer que si on définit des suites (a_n) et (b_n) telles que a_{n+1} et b_{n+1} sont les moyennes arithmétique et géométrique de a_n et b_n, ces suites convergent vers une même limite, notée M(a,b), la moyenne arithmético-géométrique.

Gauss remarqua à l’aide d’un changement de variable (très) astucieux que l’intégrale

\int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}}

restait invariante en remplaçant a et b par leurs moyennes arithmétique et géométrique. Il en déduit la valeur \frac{\pi}{2M(a,b)}. Il montra aussi que la longueur d’un quart de lemniscate de Bernoulli est \pi / 2 M(1, \sqrt 2).
On sait également qu’il relia ces propriétés à celles des fonctions thêta.
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6 January 2009 at 8:12 pm Leave a comment

Bicircular quartic curves

Working in the Euclidean (projective) plane, a bicircular quartic curve is defined to be a quartic which is singular at the circular points I and J. We are usually interested in real curves, so the type of singulaity is the same at I or J. Salmon in his Treatise on Higher Plane Curves and Basset in his Elementary Treatise on Cubic and Quartic curves deal in detail with these curves.

A plane quartic curve has arithmetic genus h^1(\mathcal O_X) = 3, but since bicircular quartics have at least two double points, they have geometric genus 0 or 1 (genus of the desingularized curve).
Curves having geometric genus 0 are called rational curves (formerly known as unicursal curves), and admit a parameterization by rational functions of one variable.

Families of bicircular curves were defined by Cassini and Descartes by metric properties : Cassini ovals are defined by the equation MA \cdot MB = k^2 where A and B are fixed foci, while Descartes define Cartesian ovals by the equation a \cdot MA + b \cdot MB = k (these equations are equivalently to algebraic quartic equations, using appropriate squarings).

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2 January 2009 at 5:33 pm 1 comment

Inversion and n-circular curves

Inversion is a transformation of the Euclidean plane closely related to circles. It is seldom taught in high schools (at least in France), but it has special interest when dealing with circles, since it maps circles and lines to circles or lines. Inversion is defined with respect to a center O and a radius ρ (in French, the inversion is said to have pôle O and puissance (power) ρ²).

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30 December 2008 at 9:08 pm Leave a comment


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