Posts tagged ‘elliptic integral’

Elliptic curves for high school students

I had to give a talk to high school students about some mathematical notion: I decided to tell them something about elliptic curves, but not the usual speech about cryptography, finite fields and the group law on a cubic curve…

Instead, I talked about the perhaps less known appearances of elliptic functions as solutions of classical ODEs (even if I don’t really know much about these myself). The simplest mechanical system whose motion is governed by an elliptic curve is the pendulum: the reason for this is that the ODE \ddot{x} + \sin x = 0 which classically describes the time evolution of the angle of the pendulum is best rewritten in terms of the altitude of the pendulum: the law of energy conservation is then written as
p^2 = q(q-q_0)(q-2l) = P(q)
where 0 and 2l are the extremal values of the altitude q, q_0 is the highest altitude which can be reached with a given energy (even if q_0 > 2l, which corresponds to the pendulum make full rotations around its axis), and p is the vertical momentum of the pendulum.

In this setting, there are classical Hamilton relations dq = p dt, dp = P'(q) dt, so the differential form dt = dq/p turns out to be the canonical non-vanishing abelian differential on the elliptic curve. This explains why the period of the pendulum is an elliptic integral, which can be calculed by an arithmetic-geometric mean, and why the position of the pendulum at t = t_1 + t_2 can be deduced from its position at times t_1 and t_2 by the classical secant-tangent law.

The notes for the talk (in French) are available here.

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11 May 2009 at 8:08 pm Leave a comment

Intégrales elliptiques et moyenne arithmético-géométrique

Le calcul de la moyenne arithmético-géométrique est un algorithme simple et très puissant découvert par Gauss permettant de calculer les intégrales elliptiques. L’excellent article de David Cox [1] dans L’enseignement mathématique expose l’historique des découvertes et recherches de Gauss sur le sujet.

La moyenne arithmético-géométrique a été définie par Lagrange, et est calculée de la manière suivante : si a et b sont deux réels positifs, on définit leur moyenne géométrique G = \sqrt{ab} et leur moyenne arithmétique A = \frac{a+b}{2}. Il est bien connu que G \leq A, et on a

A-G = \frac 1 2 (\sqrt b - \sqrt a)^2

Cette relation permet de montrer que si on définit des suites (a_n) et (b_n) telles que a_{n+1} et b_{n+1} sont les moyennes arithmétique et géométrique de a_n et b_n, ces suites convergent vers une même limite, notée M(a,b), la moyenne arithmético-géométrique.

Gauss remarqua à l’aide d’un changement de variable (très) astucieux que l’intégrale

\int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}}

restait invariante en remplaçant a et b par leurs moyennes arithmétique et géométrique. Il en déduit la valeur \frac{\pi}{2M(a,b)}. Il montra aussi que la longueur d’un quart de lemniscate de Bernoulli est \pi / 2 M(1, \sqrt 2).
On sait également qu’il relia ces propriétés à celles des fonctions thêta.
(more…)

6 January 2009 at 8:12 pm Leave a comment


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