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Les droites de l’espace et la grassmannienne

Le calcul de Schubert désigne un ensemble de techniques destinées à calculer les propriétés énumératives, ou numériques, d’objets communs de l’algèbre linéaire (voir notamment les excellents ouvrages de William Fulton à ce propos). L’exemple traditionnellement choisi, et probablement le plus simple, concerne l’ensemble des droites de l’espace (à 3 dimensions).

Une droite de l’espace est habituellement repérée par sa direction (qui est une droite vectorielle, et dépend donc de deux paramètres, et sa position, qui dépend de deux paramètres supplémentaires (à direction fixée). L’ensemble des droites peut donc être paramétré par quatre paramètres, on peut montrer qu’il est de dimension quatre. Plus intéressant encore, si on place dans l’espace deux plans parallèles, presque toutes les droites peuvent être décrites (de manière unique) par leurs points d’intersection avec ces plans : on obtient ainsi une description par 4 fractions rationnelles (à supposer qu’on sache ce qu’on est en train de paramétrer, ce qui sera plus clair dans une seconde). Ce paramétrage est à peu de chose près bijectif (il manque les droites un peu particulières) : on dit que l’ensemble des droites forme une variété rationnelle.

Le plongement de Plücker

Pour éviter de fastidieuses études de cas, on s’intéresse également aux droites de l’espace projectif : on peut les repérer par les coordonnées de Plücker. Étant donnée une droite de l’espace, considérons deux points sur cette droite de coordonnées projectives {M = [a_1:a_2:a_3:a_4]} et {N = [b_1:b_2:b_3:b_4]}. Les coordonnées de Plücker de la droite sont, par définition, les 6 nombres x_{ij} = (a_i b_j - a_j b_i). Si on avait choisi d’autres points (qui seraient donc des barycentres de M et N), on aurait obtenu des nombres de la forme

(\lambda a_i + \mu b_i)(\nu a_j + \pi b_j) - (\lambda a_j + \mu b_j)(\nu a_i + \pi b_i)
= (\lambda \pi - \mu \nu)(a_i b_j - a_j b_i)

qui sont en fait proportionnels à ceux calculés avec M et N. Les droites sont donc naturellement paramétrées par des coordonnées projectives et forment la variété grassmannienne des droites de l’espace.

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30 January 2009 at 8:33 am 1 comment

Réprésentations de l’algèbre de Lie sl(2)

Alors que la géométrie mettait autrefois en avant l’importance des groupes et des transformations d’un objet (une philosophie défendue notamment par Klein), l’influence croissante de la mécanique, l’algèbre et l’analyse tend à remplacer la théorie des groupes par celle des algèbres de Lie. La théorie de Lie, développée par Borel et Chevalley permet d’étudier les représentations de certains groupes à travers leurs algèbres de Lie, et la géométrie différentielle en est également friande.

Whereas geometry in its old times would highlight the importance of groups of transformations (as in the Erlangen program introduced by Klein), modern developments in mechanics, algebra and calculus would rather use the language of Lie algebra. Lie theory was actively developed by Borel and Chevalley, allowing to understand groups through their Lie algebras, and differential geometry is closely related to this subject as well.

Le groupe SL2

Le groupe SL2 est le groupe constitué des matrices \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} telles que ad-bc = 1. L’inverse d’une telle matrice est donné par \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\\ \end{pmatrix}.

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25 January 2009 at 11:19 am 2 comments

Intégrales elliptiques et moyenne arithmético-géométrique

Le calcul de la moyenne arithmético-géométrique est un algorithme simple et très puissant découvert par Gauss permettant de calculer les intégrales elliptiques. L’excellent article de David Cox [1] dans L’enseignement mathématique expose l’historique des découvertes et recherches de Gauss sur le sujet.

La moyenne arithmético-géométrique a été définie par Lagrange, et est calculée de la manière suivante : si a et b sont deux réels positifs, on définit leur moyenne géométrique G = \sqrt{ab} et leur moyenne arithmétique A = \frac{a+b}{2}. Il est bien connu que G \leq A, et on a

A-G = \frac 1 2 (\sqrt b - \sqrt a)^2

Cette relation permet de montrer que si on définit des suites (a_n) et (b_n) telles que a_{n+1} et b_{n+1} sont les moyennes arithmétique et géométrique de a_n et b_n, ces suites convergent vers une même limite, notée M(a,b), la moyenne arithmético-géométrique.

Gauss remarqua à l’aide d’un changement de variable (très) astucieux que l’intégrale

\int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}}

restait invariante en remplaçant a et b par leurs moyennes arithmétique et géométrique. Il en déduit la valeur \frac{\pi}{2M(a,b)}. Il montra aussi que la longueur d’un quart de lemniscate de Bernoulli est \pi / 2 M(1, \sqrt 2).
On sait également qu’il relia ces propriétés à celles des fonctions thêta.
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6 January 2009 at 8:12 pm Leave a comment


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