Les droites de l’espace et la grassmannienne

30 January 2009 at 8:33 am 1 comment

Le calcul de Schubert désigne un ensemble de techniques destinées à calculer les propriétés énumératives, ou numériques, d’objets communs de l’algèbre linéaire (voir notamment les excellents ouvrages de William Fulton à ce propos). L’exemple traditionnellement choisi, et probablement le plus simple, concerne l’ensemble des droites de l’espace (à 3 dimensions).

Une droite de l’espace est habituellement repérée par sa direction (qui est une droite vectorielle, et dépend donc de deux paramètres, et sa position, qui dépend de deux paramètres supplémentaires (à direction fixée). L’ensemble des droites peut donc être paramétré par quatre paramètres, on peut montrer qu’il est de dimension quatre. Plus intéressant encore, si on place dans l’espace deux plans parallèles, presque toutes les droites peuvent être décrites (de manière unique) par leurs points d’intersection avec ces plans : on obtient ainsi une description par 4 fractions rationnelles (à supposer qu’on sache ce qu’on est en train de paramétrer, ce qui sera plus clair dans une seconde). Ce paramétrage est à peu de chose près bijectif (il manque les droites un peu particulières) : on dit que l’ensemble des droites forme une variété rationnelle.

Le plongement de Plücker

Pour éviter de fastidieuses études de cas, on s’intéresse également aux droites de l’espace projectif : on peut les repérer par les coordonnées de Plücker. Étant donnée une droite de l’espace, considérons deux points sur cette droite de coordonnées projectives {M = [a_1:a_2:a_3:a_4]} et {N = [b_1:b_2:b_3:b_4]}. Les coordonnées de Plücker de la droite sont, par définition, les 6 nombres x_{ij} = (a_i b_j - a_j b_i). Si on avait choisi d’autres points (qui seraient donc des barycentres de M et N), on aurait obtenu des nombres de la forme

(\lambda a_i + \mu b_i)(\nu a_j + \pi b_j) - (\lambda a_j + \mu b_j)(\nu a_i + \pi b_i)
= (\lambda \pi - \mu \nu)(a_i b_j - a_j b_i)

qui sont en fait proportionnels à ceux calculés avec M et N. Les droites sont donc naturellement paramétrées par des coordonnées projectives et forment la variété grassmannienne des droites de l’espace.

Rappelons-nous aussi que cette variété est rationnelle : le paramétrage décrit plus haut utilise les points M = (x,y,0) = [x:y:0:1] et N = (z,t,1) = [z:t:1:1] pour paramétrer la droite coupant les deux plans choisis en M et N. Cela permet de calculer une droite L(x,y,z,t) de coordonnées de Plücker

x_{12} = xt - zy, x_{13} = x, x_{23} = y, x_{14} = x - z,
x_{24} = y-t, x_{34} = 1

Il n’est alors pas difficile de voir que la grassmannienne est de degré 2, et qu’elle est définie par l’équation
x_{13} x_{24} - x_{23} x_{14} = x(y-t) - (x-z)y = - x_{12} x_{34}
qui est une forme quadratique : on dit que la grassmannienne est une quadrique. Dans le paramétrage ci-dessus, elle a la forme du graphe d’un polynôme du second degré.

Droites dans un hyperboloïde

Étant données trois droites de l’espace suffisamment quelconques, il existe un et un seul hyperboloïde à une nappe (bref, une quadrique) les contenant : en effet, choisissons les coordonnées projectives de l’espace de sorte l’une des droites soit l’ensemble des points {[a:b:0:0]} tandis qu’une seconde sera l’ensemble des points {[0:0:a:b]}. Pour cela, on choisit deux points sur chaque droite et on choisit les 4 points obtenus comme base d’un système de coordonnées barycentriques. Une quadrique contenant ces deux droites doit avoir une équation de la forme
axz + bxt + cyz + dzt = 0 (on a noté x, y, z, t les 4 coordonnées projectives choisies).

On voit alors que la quadrique contiendra la troisième droite si et seulement si elle passe par trois points de cette droite (un polynôme de degré deux sur une droite s’annule totalement s’il a trois racines). Ceci impose trois conditions aux coefficients a, b, c, d, et il ne reste donc qu’une équation possible (à homothétie près). Remarquons que l’équation s’écrit aussi (après réduction de Gauss) :
(x + az + bt)^2 - (x-az-bt)^2 + (y+cz+dt)^2 - (y-cz-dt)^2 = 0

La forme quadratique obtenue a donc pour signature (2,2): elle définit une hyperboloïde à une nappe. Il est bien connu qu’un hyperboloïde est balayé par deux familles de droites (on parle de réglages). Il suffit pour le constater de tracer une courbe autour de lui, et de voir qu’en chaque point de cette courbe partent deux droites tangentes à l’hyperboloïde et même contenues dedans.

Droites sur un hyperboloïde

Exemples de conditions de Schubert

Une condition de Schubert pour les droites est une condition de la forme :

  • \sigma_2: passer par un point donné,
  • \sigma_1: couper une droite donnée,
  • \sigma_{11}: être dans un plan fixé,
  • \sigma_{21}: être dans un plan fixé et passer par un point fixé,

Les conditions faisant intervenir des points ou des plans sont très simples à étudier. La condition «couper une droite fixée», quant à elle, est beaucoup moins évidente à analyser. Le calcul de Schubert fournit des outils pour mieux comprendre l’interaction entre plusieurs conditions de Schubert.

Par exemple, étant données deux droites D_1 et D_2 en position générale dans l’espace, on voit qu’en se plaçant en un point de l’espace qui n’est pas sur ces droites, celles-ci apparaissent comme deux droites sur le plan de vision, et se coupent donc en un point : ce point correspond à une direction qui coupe ces deux droites. L’ensemble des droites correspondantes forme donc une partition de l’espace (sauf au niveau de D_1 et D_2). On peut même le paramétrer rationnellement, en choisissant comme points de vue les points d’un plan choisi de manière suffisamment quelconque. Le calcul de Schubert ne donne qu’une information partielle sous la forme \sigma_1 \cdot \sigma_1 = \sigma_2 + \sigma_{11}. Dans le cas où les droites D_1 et D_2 sont sécantes, il est facile de vérifier que les droites qui les coupent toutes les deux passent soit dans le plan correspondant, soit par le point d’intersection (et correspondent à des conditions de type \sigma_2 et \sigma_{11}).

Étant données trois droites génériques dans l’espace, on a vu qu’il existait un unique hyperboloïde les contenant toutes les trois. Les droites satisfaisant simultanément aux trois conditions de Schubert associés (et qui coupent donc simultanément les trois droites) sont les droites de l’hyperboloïde situées dans le réglage transverse aux droites de départ. Il est facile de paramétrer ces droites par une conique (on coupe l’hyperboloïde par un plan, et chaque point de la conique obtenu correspond à une droite). L’information donnée par le calcul de Schubert est \sigma_1 \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_1 = 2 \sigma_{21}. Cette information est exacte lorsque D_2 et D_3 coupent D_1 en deux points différents. On voit alors qu’une droite qui les coupe toutes doit soit passer par D_1 \cap D_2 et être dans le plan de D_3, soit passer par D_1 \cap D_3 et être dans le plan de D_2 (on reconnaît des conditions de Schubert de type \sigma_{21}). Pour comprendre en quoi cette information reste pertinente dans le cas général, il faut remarquer que la réunion de deux plans est de degré deux tout comme l’hyperboloïde, et que le calcul de Schubert ne fait pas la distinction entre eux.

Étant données quatre droites génériques dans l’espace, on peut montrer qu’il existe exactement deux droites les coupant toutes les quatre. Comme ci-dessus, puisque trois droites données (droites rouges dans la figure) sont incluses dans un hyperboloïde comme ci-dessus, les droites satisfaisant aux conditions de Schubert sont forcément dans la quadrique (droites noires dans la figure) : la quatrième condition de Schubert impose à la droite noire de passer par l’un des deux points d’intersection entre la droite fixée et la quadrique. Il y a donc deux possibilités. Ceci est exprimé par la formule \sigma_1 \sigma_1 \sigma_1 \sigma_1 = 2. Cependant, si la quatrième droite ne coupe pas la quadrique, il n’y aura pas de solution, mais les équations auront tout de même des solutions imaginaires : le résultat du calcul de Schubert doit être interprété comme l’existence de deux droites imaginaires vérifiant les équations.

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Réprésentations de l’algèbre de Lie sl(2) Lines in space and the Grassmann variety

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