Un peu de géométrie plane…

23 December 2008 at 11:47 pm Leave a comment

Commençons par un peu de géométrie élémentaire… Soit ABC un triangle non dégénéré dans le plan euclidien. L’usage de coordonnées barycentriques permet de repérer un point M du plan par trois nombres réels {[x:y:z]} de sorte que M soit le barycentre des sommets du triangle avec les poids indiqués.

Let’s begin with elementary geometry… Let ABC be a non-degenerate triangle in the Euclidean plane. By using barycentric coordinates, any point M in the plan can be assigned a triple of real numbers {[x:y:z]}, such that M is the barycentre of the vertices with these weights.

Comme les coordonnées barycentriques ne sont définies qu’à une constante multiplicative près, on a ainsi paramétré le plan projectif par les coordonnées homogènes du plan projectif canonique \mathbb P^2, la droite à l’infini correspondant à l’équation

x+y+z = 0

On peut alors montrer que la transformation isogonale, qui envoie un point M sur le point M' tel que les droites AM et AM' soient symétriques par rapport à la bissectrice de l’angle en A (et de même pour les autres sommets), correspond à la transfomation {[x:y:z] \to \left[ \frac a x : \frac b y : \frac x z \right]} (où on note a, b, c les longueurs des côtés du triangle).

L’image de la droite à l’infini par cette transformation est en fait le cercle circonscrit au triangle : c’est le théorème de la droite de Simson. Plus précisément, si P est un point du cercle circonscrit, ses projections sur les côtés du triangle sont alignées. L’utilisation du théorème de Ceva (ou de Menelaüs) permet alors de montrer que son point isogonal est à l’infini (dans la direction orthogonale à la droite de Simson, comme on peut le voir en choisissant P égal à un sommet).

La construction de la transformation isogonale est le point de départ à un certain nombre de belles constructions de géométrie algébrique à l’ancienne que j’essaierai de raconter dans d’autres billets.

Droite de Simson

Droite de Simson

Since barycentric coordinates are only defined up to product by a scalar, they naturally parameterise the projective plane by the canonical projective plane \mathbb P^2, where the line x+y+z=0 corresponds to the line at infinity.

The isogonal transformation maps a point M to a point $M’$ such that AM and AM' form equal angles with the angle bissector at vertex A (and similarly for the remaining vertices). Its expression in barycentric coordinates is {[x:y:z] \to \left[ \frac a x : \frac b y : \frac x z \right]} where a, b, c denote the lengths of the sides of the triangle.

This transformation maps the line at infinity to the circumcircle of the triangle: this can be seen as a corollary to the Simson line theorem. Indeed, if P is a point on the circumcircle of ABC, its orthogonal projections on the sides of the triangle are aligned: then, using Ceva’s theorem one can show the isogonal point is at infinity. Moreover, the isogonal direction is exactly orthogonal to the Simson line (as you can check by choosing P to be a vertex).

The isogonal transformation opens the way to many beautiful constructions in “old-style” algebraic geometry which I will try to review later.

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Inauguration Casey’s Treatise on analytical geometry

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