Elliptic curves for high school students

I had to give a talk to high school students about some mathematical notion: I decided to tell them something about elliptic curves, but not the usual speech about cryptography, finite fields and the group law on a cubic curve…

Instead, I talked about the perhaps less known appearances of elliptic functions as solutions of classical ODEs (even if I don’t really know much about these myself). The simplest mechanical system whose motion is governed by an elliptic curve is the pendulum: the reason for this is that the ODE which classically describes the time evolution of the angle of the pendulum is best rewritten in terms of the altitude of the pendulum: the law of energy conservation is then written as

where 0 and 2l are the extremal values of the altitude , is the highest altitude which can be reached with a given energy (even if , which corresponds to the pendulum make full rotations around its axis), and is the vertical momentum of the pendulum.

In this setting, there are classical Hamilton relations , , so the differential form turns out to be the canonical non-vanishing abelian differential on the elliptic curve. This explains why the period of the pendulum is an elliptic integral, which can be calculed by an arithmetic-geometric mean, and why the position of the pendulum at can be deduced from its position at times and by the classical secant-tangent law.

The notes for the talk (in French) are available here.

Intégrales elliptiques et moyenne arithmético-géométrique

Le calcul de la moyenne arithmético-géométrique est un algorithme simple et très puissant découvert par Gauss permettant de calculer les intégrales elliptiques. L’excellent article de David Cox [1] dans L’enseignement mathématique expose l’historique des découvertes et recherches de Gauss sur le sujet.

La moyenne arithmético-géométrique a été définie par Lagrange, et est calculée de la manière suivante : si a et b sont deux réels positifs, on définit leur moyenne géométrique et leur moyenne arithmétique . Il est bien connu que , et on a

Cette relation permet de montrer que si on définit des suites et telles que et sont les moyennes arithmétique et géométrique de et , ces suites convergent vers une même limite, notée , la moyenne arithmético-géométrique.

Gauss remarqua à l’aide d’un changement de variable (très) astucieux que l’intégrale

restait invariante en remplaçant a et b par leurs moyennes arithmétique et géométrique. Il en déduit la valeur . Il montra aussi que la longueur d’un quart de lemniscate de Bernoulli est .
On sait également qu’il relia ces propriétés à celles des fonctions thêta.