Réprésentations de l’algèbre de Lie sl(2)

25 January 2009 at 11:19 am 2 comments

Alors que la géométrie mettait autrefois en avant l’importance des groupes et des transformations d’un objet (une philosophie défendue notamment par Klein), l’influence croissante de la mécanique, l’algèbre et l’analyse tend à remplacer la théorie des groupes par celle des algèbres de Lie. La théorie de Lie, développée par Borel et Chevalley permet d’étudier les représentations de certains groupes à travers leurs algèbres de Lie, et la géométrie différentielle en est également friande.

Whereas geometry in its old times would highlight the importance of groups of transformations (as in the Erlangen program introduced by Klein), modern developments in mechanics, algebra and calculus would rather use the language of Lie algebra. Lie theory was actively developed by Borel and Chevalley, allowing to understand groups through their Lie algebras, and differential geometry is closely related to this subject as well.

Le groupe SL₂

Le groupe SL₂ est le groupe constitué des matrices $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ telles que $ad-bc = 1$ . L’inverse d’une telle matrice est donné par $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\\ \end{pmatrix}$ .

L’algèbre de Lie de ce groupe est l’ensemble des matrices X telle que $1 + X \varepsilon$ appartienne au groupe SL₂. Ici $\varepsilon$ est un symbole abstrait tel que $\varepsilon^2 = 0$ . Ceci permet de montrer que les valeurs possibles de X sont
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \\ \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
on note $J_0$ , $J_+$ et $J_-$ les trois matrices de la décomposition ci-dessus.

L’algèbre de Lie est notée $\mathfrak{sl}_2$ et est munie d’un crochet de Lie ${[A,B] = AB-BA}$ est antisymétrique par rapport à A et B, et que ${[A,[B,C]] = [[A,B],C] + [B,[A,C]]}$ .
On a ${[J_0, J_\pm] = 2J_\pm}$ et ${[J_+,J_-] = J_0}$ .

The group SL₂ consists of matrices $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$ such that $ad-bc = 1$ . The previous matrix has an niverse given by $\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\\ \end{pmatrix}$ .

The Lie algebra of this group is the set of matrices X such that $1 + X \varepsilon$ is an element of the group SL₂. Here $\varepsilon$ is an abstract symbol satisfying $\varepsilon^2 = 0$ . This method gives the following values for X :
$\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \\ \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
Denote by $J_0$ , $J_+$ et $J_-$ the three matrices used in the above decomposition.

We call $\mathfrak{sl}_2$ this Lie algebra : it comes equipped with a Lie bracket ${[A,B] = AB-BA}$ which is antisymmetric, and satisfying the Jacobi identity ${[A,[B,C]] = [[A,B],C] + [B,[A,C]]}$ . Moreover ${[J_0, J_\pm] = \pm 2J_\pm}$ and ${[J_+,J_-] = J_0}$ .

Création et annihilation

Une action (ou réprésentation) de $\mathfrak{sl}_2$ sur un espace vectoriel $V$ est une fonction f associant à chaque matrice de $\mathfrak{sl}_2$ un endomorphisme de $V$ , de sorte que ${[f(X), f(Y)] = f([X,Y])}$ . Si v est un vecteur propre de $J_0$ de valeur propre w, on dit que v est de poids w, et on vérifie facilement que $J_+ v$ est de poids $w+2$ , alors que $J_- v$ est de poids $w-2$ . On dit parfois que $J_+$ est l’opérateur de création, tandis que $J_-$ est l’opérateur d’annihilation (une terminologie très utilisée par la mécanique quantique).

A representation of $\mathfrak{sl}_2$ on a vector space $V$ associates to each matrix of the Lie algebra a linear map $E \to E$ such that Lie brackets are mapped correspondingly. In particular, an eigenvector of $J_0$ for the value w (we say a weight vector of weight w) is mapped a weight vector of weight $w\pm2$ by $J_\pm$ . For this reason, $J_+$ is also called creation operator while $J_-$ is called annihilation operator (these names are especially used in quantum mechanics).

On s’intéresse particulièrement aux représentations engendrées par un vecteur $v_0$ de plus haut poids w. Alors $v_n = (J_-)^n w$ , est un vecteur de poids $w-2n$ pour tout n, et ceux qui ne sont pas nuls forment une base de la représentation. La relation fondamentale
$J_- J_+ v_n = J_- J_+ J_- v_{n-1} = J_- J_- J_+ v_{n-1} + 2(w-2n+2) v_n$
montre que $J_- J_+ v_n = 2n(w+1-n) v_n$ . En particulier, si $v_{w+1} = 0$ , les vecteurs de poids suivants sont également nuls (on a alors construit une représentation iréductible de plus haut poids w, de dimension w+1), et sinon $v_{w+1}$ engendre une sous-représentation : la représentation de dimension infinie ainsi produite s’appelle le module de Verma de plus haut poids w.

We are particularly interested by highest weight representations, which are defined to be those generated by a weight vector without any higher weight vector. Suppose a representation is generated by a vector $v_0$ of weight w (thus $j_+ v_0 = 0$ ). Then $v_n := (J_-)^n w$ has weight $w-2n$ for any n, and the nonzero $v_n$ form a basis of the representation as a vector space. The fundamental equality :
$J_- J_+ v_n = J_- J_+ J_- v_{n-1} = J_- J_- J_+ v_{n-1} + 2(w-2n+2) v_n$
shows $J_- J_+ v_n = 2n(w+1-n) v_n$ . Then either $v_{w+1} = 0$ , and the vector with lesser weights also vanish (the representation is then simple or irreducible with highest weight w, its dimension is w+1), or $v_{w+1}$ generates a non-trivial sub-representation : the full representation is then infinite-dimensional and is called Verma module with highest weight w.

Classification des représentations irréductibles

Les techniques précédentes montrent que les représentations de plus haut poids de $\mathfrak{sl}_2$ sont de deux types : les représentations de dimension finie, dont le plus haut poids est en entier positif, et les modules de Verma, de dimension infinie, qui sont irréductibles lorsque leur plus haut poids n’est pas un entier positif. On peut par ailleurs montrer que toute représentation de dimension finie peut s’écrire comme somme directe de représentations avec plus haut poids : il est donc facile de toutes les déterminer.

The above techniques prove that highest weight representations of $\mathfrak{sl}_2$ are either finite-dimensional, with highest weight a non-negative integer, or infinite-dimensional, they are then Verma modules, which are irreducible if and only if the highest weight is not a nonnegative integer. Moreover any finite-dimensional representation can be written as a direct sum of irreducible highest weight representations: it is thus easy to determine all isommorphism classes of such representations.

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2 Comments Add your own

1. Tom | 29 January 2009 at 3:21 pm

Merci pour ce joli blog!

Pourquoi mélanger cependant le même post en anglais et français? Ne serait-il pas plus facile de créer deux posts séparés et d’utiliser les catégories pour organiser tout ça, ou même de se contenter de l’anglais qui est forcément lu par tout étudiant de M2 et par les chercheurs internationaux ? Quel est le public que vous visez?
Reply
- 2. remyoudompheng | 29 January 2009 at 5:15 pm
  
  C’est vrai que ce serait plus pratique d’écrire les deux séparément. En tout cas, je tiens à écrire en français le plus souvent possible, mais comme il y a des sujets qui intéressent des gens qui souvent maîtrisent l’anglais, je me permets quelques écarts Il n’y a pas spécialement de public visé (ni de thème précis) donc je vais essayer d’être aussi accessible que possible à chaque fois.
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