Intégrales elliptiques et moyenne arithmético-géométrique

6 January 2009 at 8:12 pm Leave a comment

Le calcul de la moyenne arithmético-géométrique est un algorithme simple et très puissant découvert par Gauss permettant de calculer les intégrales elliptiques. L’excellent article de David Cox [1] dans L’enseignement mathématique expose l’historique des découvertes et recherches de Gauss sur le sujet.

La moyenne arithmético-géométrique a été définie par Lagrange, et est calculée de la manière suivante : si a et b sont deux réels positifs, on définit leur moyenne géométrique $G = \sqrt{ab}$ et leur moyenne arithmétique $A = \frac{a+b}{2}$ . Il est bien connu que $G \leq A$ , et on a

$A-G = \frac 1 2 (\sqrt b - \sqrt a)^2$

Cette relation permet de montrer que si on définit des suites $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ sont les moyennes arithmétique et géométrique de $a_n$ et $b_n$ , ces suites convergent vers une même limite, notée $M(a,b)$ , la moyenne arithmético-géométrique.

Gauss remarqua à l’aide d’un changement de variable (très) astucieux que l’intégrale

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}}$

restait invariante en remplaçant a et b par leurs moyennes arithmétique et géométrique. Il en déduit la valeur $\frac{\pi}{2M(a,b)}$ . Il montra aussi que la longueur d’un quart de lemniscate de Bernoulli est $\pi / 2 M(1, \sqrt 2)$ .
On sait également qu’il relia ces propriétés à celles des fonctions thêta.

Les courbes elliptiques

Dans le langage moderne, la moyenne arithmético-géométrique est liée au problème des périodes des courbes elliptiques. Une courbe elliptique est une courbe de genre 1, que l’on peut représenter par une cubique plane lisse (sous sa forme de Weierstrass $y^2 = x^3 + \alpha x + \beta$ ) : le fibré cotangent (ou canonique) d’une telle courbe est algébriquement trivial. Il est défini par la relation $2y dy = (3x^2 + \alpha) dx$ : on constate alors que la forme différentielle

$\omega = \frac{dx}{2y} = \frac{dx}{2\sqrt{x^3 + \alpha x + \beta}}$

a pour coefficients des fonctions rationnelles des coordonnées qui ne s’annulent nulle part (on peut vérifier que c’est encore vrai après une transformation projective). Le nombre

$\int_{y=-\infty}^{y=+\infty} \frac{dx}{2y}$

est appelé une période de $\omega$ , c’est une intégrale elliptique de première espèce.

Et les ellipses dans tout ça ?

Le lien entre les ellipses et les courbes elliptiques provient de l’étude de la longueur de l’ellipse $C$ d’équation $px^2 + qy^2 = 1$ . Cette longueur peut être exprimée par une intégrale de la forme $\int \sqrt{1+\pi(x)^2} dx$ où $\pi(x) = \frac{px}{qy}$ est la pente de la courbe à l’abscisse x.

Cette intégrale devient algébrique si on ajoute une troisième coordonnée $z = \sqrt{p^2 x^2 + q^2 y^2} = qy\sqrt{1+\pi(x)^2}$ : on s’intéresse ainsi à l’intégrale de la forme différentielle $\omega = z dx / qy$ sur la courbe $E$ d’équations $px^2 + qy^2 = 1$ , $z^2 = p^2 x^2 + q^2 y^2$ . Une telle courbe est lisse et de genre 1, et la projection sur le plan $z = 0$ est un revêtement double de $C$ ramifié aux 4 points d’intersections avec les droites $p^2 x^2 + q^2 y^2 = 0$ . Notre forme différentielle devient :

$\omega = \frac{z dx}{qy} = \frac{z dy}{px} = \frac{z (px dx + qy dy)}{2 px qy} = \frac{z^2 dz}{2 px qy}$

Elle est cependant seulement méromorphe, donc son intégrale n’est pas une période de la courbe elliptique (elle est dite de seconde espèce).

Isogénies et moyenne arithmético-géométrique

L’algorithme de la moyenne arithmético-géométrique est lié au problème de la construction d’un revêtement étale double d’une courbe elliptique fixée, sous sa forme de Weierstrass, qui soit au niveau des points réels un isomorphisme sur la composante connexe contenant le point à l’infini. Les deux courbes devront alors la même période réelle naturelle (définie par l’intégrale elliptique de première espèce associée). Ce qui suit peut être trouvé dans l’article de Grayson [2].

Soit $E = \{ y^2 = x(x+a^2)(x+b^2) \}$ une courbe elliptique, sous sa forme de Weierstrass. Un revêtement étale double $E' \to E$ induit une application de degré deux entre les quotients de $E'$ et $E$ par l’involution hyperelliptique. Celle-ci envoie les 4 points de Weierstrass de $E'$ sur les 2 points ${0}$ et $\infty$ correspondant à la composante neutre des points réels. Les autres points $-a^2$ et $-b^2$ ont quatre préimages dans $E'$ soit deux seulement dans le quotient : ce sont des points de ramification. Ceci détermine de manière presque unique l’application : on vérifie que $E'$ est la courbe d’équation $E' = \{ y^2 = x(x+A^2)(x+B^2) \}$ où A et B sont les moyennes arithmétique et géométrique de a et b.

À la limite, on obtient une cubique nodale $y^2 = x(x+M^2)^2$ , où $M$ est la moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ . Elle est donc rationnelle, paramétrée par $t \mapsto (t^2, t(t^2 + M^2))$ . Sa période est donc

$\int \frac{dx}{2y} = \int \frac{dt}{t^2 + M^2} = \frac{\pi}{M}$

comme le savait Gauss.

Bibliographie

[1] David Cox, The arithmetic-geometric mean of Gauss, L’enseignement mathématique, 30, pp 275-330, 1984

[2] Daniel Grayson, The arithogeometric mean, Archiv der Mathematik, 52, pp 507-512, 1989

[3] Joseph H. Silberman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer

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